تمرین ۱ ریاضی ششم
۱- نقطه‌های مشخص شده روی محور کدام عددهای اعشاری را نشان می‌دهند؟
[محور اعداد اعشاری از $\text{۰}$ تا $\text{۵}$ رسم شده است. هر واحد به $\text{۱۰}$ قسمت مساوی تقسیم شده است.]
پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۱ صفحه ۴۷ ریاضی ششم
بچه‌های عزیز! در این محور اعداد، هر واحد (مانند فاصله $\text{۰}$ تا $\text{۱}$ یا $\text{۱}$ تا $\text{۲}$) به $\mathbf{۱۰}$ قسمت مساوی تقسیم شده است. بنابراین، هر خط کوچک نشان‌دهنده‌ی $\mathbf{\frac{۱}{۱۰}}$ یا $\mathbf{۰.۱}$ است.
### ۱. خواندن نقاط روی محور
نقاط مشخص شده (با فلش‌های سبز از چپ به راست) عبارتند از:
1. **نقطه اول:** $athbf{۰}$ واحد و $athbf{۳}$ خط کوچک به سمت راست. $\rightarrow \mathbf{۰.۳}$
2. **نقطه دوم:** $athbf{۱}$ واحد و $athbf{۷}$ خط کوچک به سمت راست. $\rightarrow \mathbf{۱.۷}$
3. **نقطه سوم:** $athbf{۲}$ واحد و $athbf{۶}$ خط کوچک به سمت راست. $\rightarrow \mathbf{۲.۶}$
4. **نقطه چهارم:** $athbf{۳}$ واحد و $\mathbf{۲}$ خط کوچک به سمت راست. $\rightarrow \mathbf{۳.۲}$
5. **نقطه پنجم:** $athbf{۳}$ واحد و $athbf{۹}$ خط کوچک به سمت راست. $\rightarrow \mathbf{۳.۹}$
6. **نقطه ششم:** $athbf{۴}$ واحد و $athbf{۴}$ خط کوچک به سمت راست. $\rightarrow \mathbf{۴.۴}$
**اعداد اعشاری نشان داده شده:** $\mathbf{۰.۳}, \mathbf{۱.۷}, \mathbf{۲.۶}, \mathbf{۳.۲}, \mathbf{۳.۹}, \mathbf{۴.۴}$
تمرین ۲ ریاضی ششم
۲- مقایسه کنید و علامت مناسب ($<, =, >$) قرار دهید.
🔴 $\text{۴.۷} \square \text{۴.۷۲}$
🔴 $\text{۰.۰۹} \square \text{۰.۰۹}$
🔴 $\text{۱.۰۲} \square \text{۱.۰۰۲}$
🔴 $\text{۱۲.۰۸} \square \text{۱۲.۰۸۰}$
🔴 $\text{۵.۰۷} \square \text{۵.۰۷۰}$
🔴 $\text{۰.۰۰۸} \square \text{۰.۰۸}$
🔴 $\text{۴.۱} \square \text{۳.۹۹}$
🔴 $\text{۰.۰۳} \square \text{۰.۲۱}$
پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۲ صفحه ۴۷ ریاضی ششم
برای مقایسه‌ی اعداد اعشاری، ابتدا ارقام را از چپ‌ترین (بزرگ‌ترین ارزش مکانی) مقایسه می‌کنیم و اگر لازم باشد، با اضافه کردن صفر در انتها، تعداد ارقام اعشاری را مساوی می‌کنیم.
| مقایسه | اضافه کردن صفر | تحلیل | نتیجه |
|:---:|:---:|:---:|:---:|
| $\text{۴.۷} \square \text{۴.۷۲}$ | $\text{۴.۷۰} \square \text{۴.۷۲}$ | $\text{۴.۷۰}$ کوچکتر از $\text{۴.۷۲}$ است. | $\mathbf{<}$ |
| $\text{۰.۰۹} \square \text{۰.۰۹}$ | نیازی نیست | دو عدد کاملاً برابرند. | $\mathbf{=}$ |
| $\text{۱.۰۲} \square \text{۱.۰۰۲}$ | $\text{۱.۰۲}\mathbf{۰} \square \text{۱.۰۰۲}$ | $\text{۱.۰۲}$ بزرگتر از $\text{۱.۰۰۲}$ است. | $\mathbf{>}$ |
| $\text{۱۲.۰۸} \square \text{۱۲.۰۸۰}$ | نیازی نیست | افزودن صفر در انتهای اعشار بی‌تأثیر است. | $\mathbf{=}$ |
| $\text{۵.۰۷} \square \text{۵.۰۷۰}$ | نیازی نیست | افزودن صفر در انتهای اعشار بی‌تأثیر است. | $\mathbf{=}$ |
| $\text{۰.۰۰۸} \square \text{۰.۰۸}$ | $\text{۰.۰۰۸} \square \text{۰.۰۸}\mathbf{۰}$ | $\text{۸}$ هزارم کوچکتر از $\text{۸۰}$ هزارم است. | $\mathbf{<}$ |
| $\text{۴.۱} \square \text{۳.۹۹}$ | نیازی نیست | قسمت صحیح ($ ext{۴}$) بزرگتر از قسمت صحیح ($ ext{۳}$) است. | $\mathbf{>}$ |
| $\text{۰.۰۳} \square \text{۰.۲۱}$ | نیازی نیست | $\mathbf{۰.۰}$ کوچکتر از $\mathbf{۰.۲}$ است. | $\mathbf{<}$ |
---
تمرین ۳ ریاضی ششم
۳- کدام یک از عددهای اعشاری از $\mathbf{\text{نصف} (\frac{۱}{۲} = \text{۰.۵})}$ کمتر است؟
$$\frac{۱}{۲}, \quad \text{۰.۳۷۴}, \quad \text{۰.۴۲۳۰}, \quad \text{۰.۱۵۰}, \quad \text{۰.۵۰۰۱}, \quad \text{۰.۰۰۷}$$
پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۳ صفحه ۴۷ ریاضی ششم
**نصف** به صورت اعشاری برابر است با $\mathbf{۰.۵}$ (یا $athbf{۰.۵۰۰}$ یا $athbf{۰.۵۰۰۰}$). برای اینکه یک عدد از $\mathbf{۰.۵}$ کمتر باشد، رقم دهم آن باید $athbf{۰}, \mathbf{۱}, \mathbf{۲}, \mathbf{۳}, \mathbf{۴}$ باشد یا اگر رقم دهم $athbf{۵}$ بود، بقیه‌ی ارقام حتماً $athbf{۰}$ باشند.
| عدد اعشاری | مقایسه با $\mathbf{۰.۵}$ | نتیجه (کوچکتر از $\mathbf{۰.۵}$؟) |
|:---:|:---:|:---:|
| $\mathbf{\frac{۱}{۲}}$ | $\text{۰.۵}$ | برابر است $|
| $\mathbf{۰.۳۷۴}$ | $\text{۰.۳}$ کوچکتر از $ ext{۰.۵}$ است. | **بله** |
| $\mathbf{۰.۴۲۳۰}$ | $\text{۰.۴}$ کوچکتر از $ ext{۰.۵}$ است. | **بله** |
| $\mathbf{۰.۱۵۰}$ | $\text{۰.۱}$ کوچکتر از $ ext{۰.۵}$ است. | **بله** |
| $\mathbf{۰.۵۰۰۱}$ | $\text{۰.۵}$ برابر است، اما رقم‌های بعدی صفر نیستند. ($ ext{۰.۵۰۰۱} > \text{۰.۵۰۰۰}$) | خیر |
| $\mathbf{۰.۰۰۷}$ | $\text{۰.۰}$ کوچکتر از $ ext{۰.۵}$ است. | **بله** |
**عددهایی که از نصف ($athbf{۰.۵}$) کمتر هستند:** $\mathbf{۰.۳۷۴}, \mathbf{۰.۴۲۳۰}, \mathbf{۰.۱۵۰}, \mathbf{۰.۰۰۷}$
تمرین ۴ ریاضی ششم
۴- عددی را که هر دستگاه نشان می‌دهد بنویسید.
[چهار دماسنج یا ابزار اندازه‌گیری نیم دایره‌ای شکل که مقادیر اعشاری را نشان می‌دهند.]
🔴 دماسنج $\text{۱}$ (بین $\text{۰}$ و $\text{۱}$، $\text{۱۰}$ تقسیم): عقربه روی خط $\text{۷}$ بعد از $\text{۰}$.
🔴 دماسنج $\text{۲}$ (بین $\text{۱}$ و $\text{۲}$، $\text{۱۰}$ تقسیم): عقربه روی خط $\text{۴}$ بعد از $\text{۱}$.
🔴 دماسنج $\text{۳}$ (بین $\text{۰}$ و $\text{۲۰}$، $\text{۱۰}$ تقسیم): عقربه روی خط $\text{۶}$ بعد از $\text{۱۰}$.
🔴 دماسنج $\text{۴}$ (بین $\text{۰}$ و $\text{۲}$، $\text{۱۰}$ تقسیم): عقربه روی خط $\text{۹}$ بعد از $\text{۰}$.
پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۴ صفحه ۴۷ ریاضی ششم
برای خواندن این دستگاه‌ها، ابتدا باید مقدار هر گام (خط کوچک) را مشخص کنیم.
### ۱. خواندن مقادیر
* **🔴 دستگاه $\mathbf{۱}$:**
* **گام:** $ ext{۱}$ واحد بین $ ext{۰}$ و $ ext{۱}$ تقسیم بر $ ext{۱۰}$ است. پس هر گام $\mathbf{۰.۱}$ است.
* **عقربه:** $ ext{۷}$ خط کوچک بعد از $ ext{۰}$. $\rightarrow \mathbf{۰.۷}$
* **🔴 دستگاه $\mathbf{۲}$:**
* **گام:** هر گام $athbf{۰.۱}$ است.
* **عقربه:** $ ext{۴}$ خط کوچک بعد از $ ext{۱}$. $\rightarrow \mathbf{۱.۴}$
* **🔴 دستگاه $\mathbf{۳}$:**
* **گام:** $ ext{۲۰}$ واحد بین $ ext{۰}$ و $ ext{۲۰}$ تقسیم بر $ ext{۱۰}$ است. پس هر گام $\mathbf{۲}$ واحد است.
* **عقربه:** $ ext{۶}$ گام بعد از $ ext{۰}$. $\rightarrow \text{۶} \times \text{۲} = \mathbf{۱۲}$
* **🔴 دستگاه $\mathbf{۴}$:**
* **گام:** $ ext{۲}$ واحد بین $ ext{۰}$ و $ ext{۲}$ تقسیم بر $ ext{۱۰}$ است. پس هر گام $\mathbf{۰.۲}$ است.
* **عقربه:** $ ext{۹}$ گام بعد از $ ext{۰}$. $\rightarrow \text{۹} \times \text{۰.۲} = \mathbf{۱.۸}$
**اعداد خوانده شده:** $\mathbf{۰.۷}, \mathbf{۱.۴}, \mathbf{۱۲}, \mathbf{۱.۸}$
تمرین ۵ ریاضی ششم
۵- عددهای انگلیسی را با رقم‌های فارسی بنویسید.
🔴 $\text{۳۲.۴۰۷} = \mathbf{\text{...}}$
🔴 $\text{۶.۹۸} = \mathbf{\text{...}}$
🔴 $\text{۹۵۶.۱۸} = \mathbf{\text{...}}$
🔴 $\text{۳.۱۴} = \mathbf{\text{...}}$
🔴 $\text{۲.۳۵۱} = \mathbf{\text{...}}$
🔴 $\text{۷.۰۲} = \mathbf{\text{...}}$
پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۵ صفحه ۴۷ ریاضی ششم
برای تبدیل ارقام انگلیسی به فارسی، فقط کافی است شکل نوشتاری رقم‌ها را عوض کنیم.
* **🔴 $\text{۳۲.۴۰۷}$:** $\mathbf{۳۲.۴۰۷}$
* **🔴 $\text{۶.۹۸}$:** $\mathbf{۶.۹۸}$
* **🔴 $\text{۹۵۶.۱۸}$:** $\mathbf{۹۵۶.۱۸}$
* **🔴 $\text{۳.۱۴}$:** $\mathbf{۳.۱۴}$
* **🔴 $\text{۲.۳۵۱}$:** $\mathbf{۲.۳۵۱}$
* **🔴 $\text{۷.۰۲}$:** $\mathbf{۷.۰۲}$
---
تمرین ۶ ریاضی ششم
۶- کدام عدد با بقیه برابر نیست؟
$$\mathbf{۱.۰۷۰}, \quad \mathbf{۱.۷}, \quad \mathbf{۱.۰۷۰۰}, \quad \mathbf{۱.۰۷۰۰۰}$$
پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۶ صفحه ۴۷ ریاضی ششم
برای مقایسه‌ی این اعداد، باید از قانون **ارزش صفر در سمت راست اعشار** استفاده کنیم.
* **قانون:** افزودن یا حذف کردن صفر در **انتهای قسمت اعشاری**، مقدار عدد را تغییر نمی‌دهد.
1. $\mathbf{۱.۰۷۰} = \text{۱} \text{ و } \text{۷}$ صدم.
2. $\mathbf{۱.۷} = \text{۱} \text{ و } \text{۷}$ دهم. ($ ext{۱.۷۰}$)
3. $\mathbf{۱.۰۷۰۰} = \text{۱} \text{ و } \text{۷}$ صدم.
4. $\mathbf{۱.۰۷۰۰۰} = \text{۱} \text{ و } \text{۷}$ صدم.
**مقایسه:**
* $\text{۱.۰۷}$ با $\text{۱.۰۷۰۰}$ و $\text{۱.۰۷۰۰۰}$ برابر است.
* $\text{۱.۷}$ برابر با $ ext{۱.۷۰}$ است که بزرگتر از $ ext{۱.۰۷}$ است.
**پاسخ:** عدد **$\mathbf{۱.۷}$** با بقیه برابر نیست. $\mathbf{۱.۷ > ۱.۰۷}$
تمرین ۷ ریاضی ششم
۷- در دو صد متر، نفر اول با زمان $\text{۹.۸۳}$ ثانیه از خط پایان گذشت و نفر آخر با زمان $\text{۲۷.۱۰}$ ثانیه عبور کرد. اختلاف زمان نفر اول و آخر چقدر بوده است؟
پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۷ صفحه ۴۷ ریاضی ششم
برای پیدا کردن **اختلاف زمان** بین نفر اول و نفر آخر، باید زمان نفر اول را از زمان نفر آخر کم کنیم (عملیات تفریق).
$$\text{اختلاف زمان} = \text{زمان نفر آخر} - \text{زمان نفر اول}$$
$$\text{اختلاف زمان} = \text{۲۷.۱۰} - \text{۹.۸۳}$$
$$\begin{array}{c} \text{۲۷.}۱۰ \\ - \text{۰۹.}۸۳ \\ \hline \text{۱۷.}۲۷ \end{array}$$
**پاسخ:** اختلاف زمان نفر اول و آخر **$\mathbf{۱۷.۲۷}$ ثانیه** بوده است.
تمرین ۸ ریاضی ششم
۸- یک دانش‌آموز کلاس هفتم نمره‌های سؤال‌های برگه‌ی امتحان ریاضی خود را به صورت زیر نوشت. نمره‌ی او چقدر شده است؟ روش محاسبه‌ی خود را توضیح دهید.
$$\frac{۱}{۲۵} + \text{۰.۷۵} + \frac{۲}{۲۵} + \text{۰.۵} + \frac{۲}{۲۵} + \text{۲} + \frac{۱}{۲۵} + \frac{۱}{۲۵} + \text{۰.۷۵} + \text{۰.۵} + \frac{۱}{۲۵} + \frac{۲}{۲۵} + \text{۰.۷۵} + \text{۲} + \frac{۱}{۲۵} + \frac{۲}{۲۵} + \text{۰.۵} + \frac{۱}{۲۵} + \frac{۲}{۲۵} = \mathbf{\text{...}}$$
پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۸ صفحه ۴۷ ریاضی ششم
برای محاسبه‌ی این مجموع طولانی، ساده‌ترین راه این است که **اعداد اعشاری و کسری را با هم ترکیب کنیم** و همه را به یک فرمت (مثلاً کسری با مخرج $\text{۲۵}$ یا اعشاری) تبدیل کنیم.
### ۱. تبدیل به فرمت مشترک (اعشاری)
* $\frac{۱}{۲۵} = \text{۰.۰۴}$ ($ rac{۱}{۲۵} \times \frac{۴}{۴} = \frac{۴}{۱۰۰}$)
* $\frac{۲}{۲۵} = \text{۰.۰۸}$ ($ rac{۲}{۲۵} \times \frac{۴}{۴} = \frac{۸}{۱۰۰}$)
* $\text{۰.۷۵}$ (سه بار)
* $\text{۰.۵}$ (سه بار)
* $\text{۲}$ (دو بار)
### ۲. شمارش و جمع بر اساس نوع عدد
| عدد/کسر | تعداد | حاصل (اعشاری) |
|:---:|:---:|:---:|
| $\frac{۱}{۲۵} = \text{۰.۰۴}$ | $\text{۶}$ بار | $\text{۶} \times \text{۰.۰۴} = \mathbf{۰.۲۴}$ |
| $\frac{۲}{۲۵} = \text{۰.۰۸}$ | $\text{۵}$ بار | $\text{۵} \times \text{۰.۰۸} = \mathbf{۰.۴۰}$ |
| $\mathbf{۰.۷۵}$ | $\text{۳}$ بار | $\text{۳} \times \text{۰.۷۵} = \mathbf{۲.۲۵}$ |
| $\mathbf{۰.۵}$ | $\text{۳}$ بار | $\text{۳} \times \text{۰.۵} = \mathbf{۱.۵}$ |
| $\mathbf{۲}$ | $\text{۲}$ بار | $\text{۲} \times \text{۲} = \mathbf{۴}$ |
| **جمع کل** | | $\text{۰.۲۴} + \text{۰.۴۰} + \text{۲.۲۵} + \text{۱.۵} + \text{۴} = \mathbf{۸.۳۹}$ |
**روش محاسبه‌ی توضیح داده شده:**
1. همه‌ی مقادیر کسری را به معادل اعشاری تبدیل کردم. (مانند $\frac{۱}{۲۵} = \text{۰.۰۴}$)
2. هر مقدار تکراری را شمارش کردم.
3. حاصل ضرب هر مقدار در تعداد تکرار را به دست آوردم.
4. تمامی حاصل جمع‌ها را با هم جمع کردم.
**پاسخ:** نمره‌ی او **$\mathbf{۸.۳۹}$** شده است.
تمرین ۹ ریاضی ششم
۹- در جای خالی یک عدد بنویسید. چند پاسخ مختلف می‌توان نوشت؟
$$\text{۱۰} + \mathbf{\square} < \text{۱۵.۰۴}$$
پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۹ صفحه ۴۷ ریاضی ششم
برای پیدا کردن مقادیر $\mathbf{\square}$، ابتدا باید نامساوی را ساده کنیم.
### ۱. ساده کردن نامساوی
$$\text{۱۰} + \mathbf{\square} < \text{۱۵.۰۴}$$
$$\mathbf{\square} < \text{۱۵.۰۴} - \text{۱۰}$$
$$\mathbf{\square} < \mathbf{۵.۰۴}$$
### ۲. انتخاب عدد مناسب
هر عددی که **از $\mathbf{۵.۰۴}$ کوچکتر** باشد، می‌تواند در جای خالی قرار گیرد.
**یک عدد پیشنهادی:** $athbf{۵}$
### ۳. تعداد پاسخ‌های مختلف
از آنجایی که هیچ محدودیتی (مانند صحیح بودن یا تعداد ارقام اعشاری) برای عدد وجود ندارد و اعداد اعشاری به طور **بی‌شمار** بین هر دو عدد صحیح یا اعشاری وجود دارند، می‌توان **بی‌نهایت** پاسخ مختلف نوشت.
**مثال‌های دیگر:** $athbf{۴.۹}, \mathbf{۳}, \mathbf{۵.۰۳}$ و ...
**پاسخ:** **بی‌نهایت** پاسخ مختلف می‌توان نوشت.
تمرین ۱۰ ریاضی ششم
۱۰- دو دانش‌آموز عدد $\text{۲۰.۰۵}$ را به حروف نوشته‌اند. کدام یک بهتر نوشته است؟
🔴 $\text{پاسخ حمیده: } \text{بیست و پنج صدم}$
🔴 $\text{پاسخ سعیده: } \text{بیست عدد صحیح و پنج صدم}$
پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۱۰ صفحه ۴۷ ریاضی ششم
### ۱. تحلیل عدد
عدد $\mathbf{۲۰.۰۵}$ از دو قسمت تشکیل شده است:
* **قسمت صحیح:** $athbf{۲۰}$ (بیست)
* **قسمت اعشاری:** $athbf{۰.۰۵}$ (پنج صدم)
### ۲. تحلیل پاسخ‌ها
* **🔴 پاسخ حمیده ($athbf{\text{بیست و پنج صدم}}$):** این عبارت معادل $athbf{۰.۲۵}$ است، نه $ ext{۲۰.۰۵}$. او قسمت صحیح و قسمت اعشاری را جدا نکرده است.
* **🔴 پاسخ سعیده ($athbf{\text{بیست عدد صحیح و پنج صدم}}$):** این عبارت به درستی **دو بخش** عدد را نام برده است.
**پاسخ:** پاسخ **سعیده** بهتر نوشته شده است، زیرا **باید بخش صحیح و بخش اعشاری را جداگانه خواند و نام برد.**
